Untuk bisa mengeksplor lebih dalam pada matriks, setelah mengetahui operasi dasar pada matriks kita juga perlu memahami konsep determinan dan invers pada matriks. Uniknya determinan dan invers hanya bisa diterapkan pada matriks persegi. Mengapa demikian, karena berdasarkan definisi dari determinan matriks yaitu selisih antara nilai pada diagonal utama dengan diagonal sekunder. Sehingga determinan matriks hanya bisa diterapkan pada matriks persegi karena diagonal matriks hanya ada pada matriks persegi begitu pula dengan invers, untuk mencari invers dari sebuah matriks perlu dicari terlebih dahulu determinan dari matiks tersebut sehingga invers matriks hanya bisa dicari pada matriks persegi. Berikut adalah cara mencari determinan dan invers pada matriks:
Determinan
Telah kita ketahui bahwa definisi dari determinan matriks yaitu selisih antara nilai pada diagonal utama dengan diagonal sekunder. Sehingga apabila kita memiliki matriks $\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right]$ maka nilai diagonal utamanya adalah $a\times d$ dan nilai diagonal sekundernya adaah $b\times c$, sehingga selisih antara keduanya adalah $a\times d - b\times c$. Dengan konsep tersebut kita bisa menerapkannya pada matriks dengan ordo $2\times2$, akan tetapi pada matriks dengan ordo $3\times3$ atau lebih kita bisa menambahkan beberapa kolom di sebelah kanan matriks untuk memudahkan kita dalam menghitung nilai diagonalnya. Cara tersebut biasa disebut dengan atuan sarrus. Misalkan kita memiliki matriks $A=\left[\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right]$, dengan aturan sarrus kita akan memiliki matriks dengan bentuk baru sebagai berikut $\begin{matrix}\left[\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right]&\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\a_{3,1}&a_{3,2}\end{matrix}\end{matrix}$, sehingga dengan mudah akan kita ketahui diagonal utamanya yaitu $(a_{1,1}\times a_{2,2}\times a_{3,3})$ $+(a_{1,2}\times a_{2,3}\times a_{3,1})$ $+(a_{1,3}\times a_{2,1}\times a_{3,2})$ kemudian diagonal sekundernya adalah $(a_{1,2}\times a_{2,1}\times a_{3,3})$ $+(a_{1,1}\times a_{2,3}\times a_{3,2})$ $+(a_{1,3}\times a_{2,2}\times a_{3,1})$ sehingga selisih antara nilai diagonal utama dengan nilai diagonal sekundernya adalah $(a_{1,1}\times a_{2,2}\times a_{3,3})$ $+(a_{1,2}\times a_{2,3}\times a_{3,1})$ $+(a_{1,3}\times a_{2,1}\times a_{3,2})$ $-(a_{1,2}\times a_{2,1}\times a_{3,3})$ $-(a_{1,1}\times a_{2,3}\times a_{3,2})$ $-(a_{1,3}\times a_{2,2}\times a_{3,1})$. Contoh:
- Determinan dari matriks $\left[\begin{matrix}3&0&1\\0&1&2\\2&0&1\end{matrix}\right]$ adalah...
Jawab: Dengan aturan sarrus maka kita peroleh $\begin{matrix}\left[\begin{matrix}3&0&1\\0&1&2\\2&0&1\end{matrix}\right]&\begin{matrix}3&0\\0&1\\2&0\end{matrix}\end{matrix}$ sehingga nilai diagonal utamanya adalah $(3\times1\times1)+(0\times2\times2)+(1\times0\times0)$ dan nilai diagonal sekundernya adalah $(0\times0\times1)+(1\times2\times0)+(1\times1\times2)$ akibatnya diperoleh selisih antara nilai diagonal utama dengan nilai diagonal sekundernya adalah $(3\times1\times1)+(0\times2\times2)+(1\times0\times0)$ $-((0\times0\times1)+(1\times2\times0)+(1\times1\times2))$ sehingga diperoleh $3+0+0-0-0-2=1$, jadi determinan dari matriks $\left[\begin{matrix}3&0&1\\0&1&2\\2&0&1\end{matrix}\right]$ adalah 1.
Apabila sebuah matriks memiliki nilai determinan 0 maka matriks tersebut dinamakan matriks singular.
Invers
Invers matriks $A$ biasa dinotasikan dengan $A^{-1}$, invers matriks dapat dicari apabila matriks tersebut tak singular. Mengapa demikian, hal tersebut karena rumus mencari invers matriks adalah $A^{-1}=\frac{1}{Det(A)}\times Adj(A)$ sehingga apabila determinan matriks 0 maka terdapat $\frac{1}{0}$ yang bernilai tak terdefinisi, akibatnya invers tidak dapat dihitung. Karena kita telah membahas determinan, maka yang perlu kita bahas untuk memahami konsep invers matiks adalah adjoin matiks atau yang biasa dinotasikan $Adj$. Apa itu adjoin, adjoin adalah hasil transpose dari elemen kofaktor matriks. Lantas, kita bisa memperoleh kofaktor matriks apabia kita mengalikan $(-1)^{i+j}$ dengan minor dari sebuah matriks dimana $i$ adalah baris matriks dan $j$ adalah kolom matriks. Kemudian, yang dimaksud minr matriks adalah penghilangan baris dan km suatu matriks kemudian dari matriks yang tersisa akan dicari determinannya. Agar mempermudah pemahaman angsung saja kita ke contoh. Berikut adalah contoh invers matriks:
- Invers matriks $2\times2$
- Invers matriks $3\times3$
Misalkan kita mempunyai matriks $A=\left[\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right]$ sehingga $A^{-1}=\frac{1}{Det(A)}\times Adj(A)$ langkah pertama adalah kita mencari minor dari matriks $A$, berdasarkan definisi minor akan kita peroleh $M_{1,1}=2$, $M_{1,1}$ adalah penghilangan baris 1 dan kolom 1 dari matriks $A$. $M_{1,2}=1$, $M_{1,2}$ adalah penghilangan baris 1 dan kolom 2 dari matriks $A$. $M_{2,1}=3$, $M_{2,1}$ adalah penghilangan baris 2 dan kolom 1 dari matriks $A$. $M_{2,2}=2$, $M_{2,2}$ adalah penghilangan baris 2 dan kolom 2 dari matriks $A$. Kemudian kita cari masing-masing determinan dari minor tang kita peroleh. Karena minor yang diperoeh berordo $1\times1$ maka determinannya adalah dirinya sendiri. Akibatnya kita peroleh matriks minor dari matriks $A$ adalah $\left[\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right]$. Kemudian untuk mencari matriks kofaktornya adalah dengan mengalikan $(-1)^{i+j}$ dengan elemen matriks minor dimana $i$ adalah baris matriks dan $j$ adalah kolom matriks. Sehingga akan kita peroleh $\left[\begin{matrix}(-1)^{1+1}\times2&(-1)^{1+2}\times1\\(-1)^{2+1}\times3&(-1)^{2+2}\times2\end{matrix}\right]$ $=$ $\left[\begin{matrix}(-1)^{2}\times2&(-1)^{3}\times1\\(-1)^{3}\times3&(-1)^{4}\times2\end{matrix}\right]$ sehingga kita peroleh $Kof(A)=\left[\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right]$. Kemudian langkah selanjutnya adalah mencari $Adj(A)$ karena $Adj(A)=(Kof(A))^{T}$ maka $Adj(A)=\left[\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right]$. Telah kita ketahui bahwa $Det(A)=2\times2+3\times1=4-3=1$. Sehingga $A^{-1}=\frac{1}{Det(A)}\times Adj(A)=\frac{1}{1}\times \left[\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right]$ jadi invers dari matriks $A$ adalah $\left[\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right]$.
Misalkan kita mempunyai matriks $A=\left[\begin{matrix}3&0&1\\0&1&2\\2&0&1\end{matrix}\right]$ sehingga $A^{-1}=\frac{1}{Det(A)}\times Adj(A)$ langkah pertama adalah kita mencari minor dari matriks $A$, berdasarkan definisi minor akan kita peroleh $M_{1,1}=\left[\begin{matrix}1&2\\0&1\end{matrix}\right]$, $M_{1,1}$ adalah penghilangan baris 1 dan kolom 1 dari matriks $A$. $M_{1,2}=\left[\begin{matrix}0&2\\2&1\end{matrix}\right]$, $M_{1,2}$ adalah penghilangan baris 1 dan kolom 2 dari matriks $A$. $M_{1,3}=\left[\begin{matrix}0&1\\2&0\end{matrix}\right]$, $M_{1,3}$ adalah penghilangan baris 1 dan kolom 3 dari matriks $A$. $M_{2,1}=\left[\begin{matrix}0&1\\0&1\end{matrix}\right]$, $M_{2,1}$ adalah penghilangan baris 2 dan kolom 1 dari matriks $A$. $M_{2,2}=\left[\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right]$, $M_{2,2}$ adalah penghilangan baris 2 dan kolom 2 dari matriks $A$. $M_{2,3}=\left[\begin{matrix}3&0\\2&0\end{matrix}\right]$, $M_{2,3}$ adalah penghilangan baris 2 dan kolom 3 dari matriks $A$. $M_{3,1}=\left[\begin{matrix}0&1\\1&2\end{matrix}\right]$, $M_{3,1}$ adalah penghilangan baris 3 dan kolom 1 dari matriks $A$. $M_{3,2}=\left[\begin{matrix}3&1\\0&2\end{matrix}\right]$, $M_{3,2}$ adalah penghilangan baris 3 dan kolom 2 dari matriks $A$. $M_{3,3}=\left[\begin{matrix}3&0\\0&1\end{matrix}\right]$, $M_{3,3}$ adalah penghilangan baris 3 dan kolom 3 dari matriks $A$. Kemudian kita cari masing-masing determinan dari minor tang kita peroleh. Akibatnya kita peroleh matriks minor dari matriks $A$ adalah $\left[\begin{matrix}1&4&2\\0&1&0\\-1&6&3\end{matrix}\right]$. Kemudian untuk mencari matriks kofaktornya adalah dengan mengalikan $(-1)^{i+j}$ dengan elemen matriks minor dimana $i$ adalah baris matriks dan $j$ adalah kolom matriks. Sehingga akan kita peroleh $\left[\begin{matrix}(-1)^{1+1}\times1&(-1)^{1+2}\times4&(-1)^{1+3}\times2\\(-1)^{2+1}\times0&(-1)^{2+2}\times1&(-1)^{2+3}\times0\\(-1)^{3+1}\times-1&(-1)^{3+2}\times6&(-1)^{3+3}\times3\end{matrix}\right]$ $=$ $\left[\begin{matrix}(-1)^{2}\times1&(-1)^{3}\times4&(-1)^{4}\times2\\(-1)^{3}\times0&(-1)^{4}\times1&(-1)^{5}\times0\\(-1)^{4}\times-1&(-1)^{5}\times6&(-1)^{6}\times3\end{matrix}\right]$ sehingga kita peroleh $Kof(A)=\left[\begin{matrix}1&-4&2\\-0&1&-0\\-1&-6&3\end{matrix}\right]$. Kemudian langkah selanjutnya adalah mencari $Adj(A)$ karena $Adj(A)=(Kof(A))^{T}$ maka $Adj(A)=\left[\begin{matrix}1&0&-1\\-4&1&-6\\2&0&3\end{matrix}\right]$. Telah kita ketahui bahwa $Det(A)=(3\times1\times1)+(0\times2\times2)+(1\times0\times0)$ $-$ $((0\times0\times1)+(1\times2\times0)+(1\times1\times2))$ $=$ $3+0+0-0-0-2=1$. Sehingga $A^{-1}=\frac{1}{Det(A)}\times Adj(A)=\frac{1}{1}\times \left[\begin{matrix}1&0&-1\\-4&1&-6\\2&0&3\end{matrix}\right]$ jadi invers dari matriks $A$ adalah $\left[\begin{matrix}1&0&-1\\-4&1&-6\\2&0&3\end{matrix}\right]$.
Dengan cara yang sama juga bisa diterapkan untuk orde yang lain atau orde yang lebih besar.
Semoga bermanfaat. ~
